爱德华·索普通过计牌估算概率，同时运用凯利公式计算下注比例“胜算大的时候多下注，胜算小的时候少下注”吊打拉斯维加斯的各个赌场，著名的索普公式也就是凯利公式在21点的应用。

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我们用一个简单的例子来理解，比如当你有51%的胜算的时候，赢一局资金翻倍，那么100局里你获胜51局，就能获得102美元，这是你的优势，也就是你的利润除以你的本金，也就是2%。根据索普的规划，如果你能确认你存在2%的优势，那么你每局就应该下注本金的2%。用凯利公式来理解就是f* = (bp - q) / b=（1*51%-49%）/1=2%,即每局的最优下注比例为本金的2%。（下文将对凯利公式做详细介绍）

之后爱德华索普又发明了团队作战的策略。团队作战一般是5个人，大家会通过通信工具来沟通自己桌子的情况，也就是说赔率会在5个不同的桌子上出现。这时候每一次下注，大家只需要在赔率最高的桌子上，下最大的赌注，就能将获胜的概率最大化。很快，爱德华·索普战胜了每一个赌场的21点桌。

1956年，科学家凯利在内部期刊发表了一篇原标题叫《信息论与赌博》的论文，提出了著名的凯利公式（公式如下）。文中凯利以赌徒视角，思考如何合理押注才能让资产得到最大指数的增长，也就是最优下注比例的问题。

我们通过一个例子来理解：假设总赌本10,000美元，玩家取胜的概率是51%，赔率1：1，那么凯利公式给出的最佳赌注是：$10000 * (1 * 0.51 - 0.49)/ 1 = $200。通过公式可以很快速的计算出最佳下注比例，但最重要的不在于带公式计算数字，而是要弄明白公式背后真正的含义。

公式的分子bp - q代表“赢面”，也就是数学中的“期望值”。从公式我们也可以直观的理解，只有分子是正数，f*才能是正数，也就是说只有期望值是正的时候才可以下注，这是一切赌博和投资最基本的道理。

但值得注意的是，凯利公式应用在赌戏中有个可能会被忽略的假设，那就是亏损时押注赔光（预期负收益率L=100%）。 但资本市场的投资通常没有这么惨，所以这个公式放在投资中应用时，需要稍做调整，调整后最佳投入比例为：f*=(pW-qL)/(W*L)，其中，f* = 投注金额占总资金的比例，p = 获胜的概率，q = 失败的概率，W = 正收益率；L = 负收益率。

那么如果找到找到期望值为正数的投资，为了实现长期的最大收益，我们是不是应该在每次赌博中尽量放入更多比例的本金，甚至达到100%？显然这是不合理的，因为一旦哪一次赌博赌输了，那么所有的本金就会全部输光，再也不能参加下一局，只能黯然离场。而从长期来看，赌输一次这个事件必然发生，所以说长期来看必定破产。

所以这里就得出了一个结论：只要一个赌局存在一下子把本金全部输光的可能，哪怕这个可能非常的小，那么就永远不能满仓。因为长期来看，小概率事件必然发生，而且在现实生活中，小概率事件发生的实际概率要远远的大于它的理论概率，这就是金融学中的肥尾效应。

公式的分母b为赔率，b为正数f*才能是正数。公式里赢面还要除以“b”才是投注资金比例，也就是说赢面相同的情况下，赔率越小越可以多押注，我们还是用例子来说明更为直观。

“小博大”：胜率20%，赢了1赔5，输了全光。bp - q = 5*20% - 80% = 20%

“中博中”：胜率60%，1赔1，输了全光。bp - q = 1*60% - 40% = 20%

“大博小”：胜率80%，1赔0.5，输了全光。bp - q = 0.5*80% - 20% = 20%

三个游戏的数学期望值一样，都是20%，如果押100元平均赢20元。但是用凯利公式中的“b”一除，算出来的最佳投资比例f*，也就是能让资产得到最大指数增长的比例，“小博大”f* =20%/5=4%，“中博中”f* =20%/1=20%，“大博小”f* =20%/0.5=40%，“大博小”的最优下注比例是最大的，也就是在期望值为正数前提下，赢面相同的情况时，波动小的，越可以多押注。

凯利公式指出：赢面大、波动性小的游戏可以押较大赌注。那么如何量化“赢面大，波动性小”呢？1966年威廉·夏普提出了著名的指标：夏普比率，从收益期望和风险两方面评估投资机会的优劣，也就是解决如何挑选“游戏”的问题。

夏普比率代表投资人每多承担一单位风险，可以拿到几单位超额报酬；若为正值，代表标的报酬率高过波动风险；若为负值，代表标的操作风险高过报酬率。它表示投资回报与多冒风险的比例，也就是夏普比率S越高，投资机会的“质量”越高。

举个例子，假如国债的回报是3%，而标的基金投资组合预期回报是15%，标的基金投资组合的标准偏差是6%，那么用15%－3%，可以得出12%（代表标的基金超出无风险投资的回报），再用12%/6%=2，代表投资者风险每增长1%，换来的是2%的多余收益。

举个例子：甲投资：超额回报期望10%，标准差20%，夏普比率为0.5

乙投资：超额回报期望5%，标准差5%，夏普比率为1

乍一看，甲投资回报期望高，似乎是比较好的机会。但投资不仅要考虑收益期望，更要考虑风险，通过夏普比率计算出的多冒风险可获得的投资回报甲是0.5，而乙是1，也就意味着乙投资于甲投资相比，乙投资用1个单位的“风险”能换取更多的回报期望。

不论是赌博还是投资存在概率，事实上二者是相通的。因此，凯利公式也被巴菲特，查理芒格和比尔格罗斯引用了无数回。

首先，定增市场是千亿级别的市场，并且随着上市公司总数以及上市公司定增融资需求的增多，募集金额呈现增长趋势，可以容纳大量大资金，满足我们对可容纳资金体量的要求。

再来定增在胜率和赔率上具备优势。我们统计了定增实行以来全市场的全部数据，得出定增旧规的胜率为57%，赔率3.01，期望值1.29；定增新规的胜率64%，赔率3.2，期望值1.67。不论是旧规还是新规胜率都高于50%，赔率都超过3倍，期望值为正数。从凯利公式的角度看，定增的胜率、赔率、期望值都无可挑剔，是一项重复下来“久赌必赢”的投资。

既然定增是一项重复下来“久赌必赢”的投资，那么是不是根据凯利公式就能赚钱吗？不是的！凯利公式只是让你在最小风险下，来合理分配投资比例。不仅需要期望值必须为正值，还要求单次下注的胜率和赔率必须是固定的。受到不同定增项目质地和折扣的影响，定增中的单个项目胜率和赔率（也就是收益情况）不是固定的。因此，凯利公式应用在定增市场中更加应该关注的是期望值的趋势变化。

鑫鑫投资从2011年开始专注参与定增至今获得了远超市场的收益，其中定增旧规的胜率65.2%，赔率11.08，期望值6.88，总收益52.9%；定增新规的胜率56.9%，赔率3.88，期望值1.78，总收益13.9%。

作为领先的机构投资者要求我们：业绩好，年化高，回撤少，也就是夏普比率理论上要挑选出的相对低风险和高回报“高性价比”投资。

尝试从夏普比率的角度评估下我们不同的产品的“性价比”。从走势波动上看，鑫鑫一号和鑫鑫三号由于净值计算方式不同，因此鑫鑫一号的夏普比率相较于鑫鑫三号稳定。从数值上看，鑫鑫一号的夏普比率常年在1左右，而鑫鑫三号的夏普比率更多集中在0.5左右。

$寒武纪-U(SH688256)$$昆仑万维(SZ300418)$$中科曙光(SH603019)$

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